오늘은 함수의 극한에 대해 우리나라 고등학교 교육과정에서 다루는 수준으로 설명하는 글을 써 보려 합니다.
엡실론-델타 논법을 이용한 함수의 극한의 엄밀한 정의는 다음 글에서 다루겠습니다.
1.함수의 극한의 직관적 정의 (The Limits of Functions)
먼저 함수의 극한이란 무엇일까요? 함수의 극한은 말 그대로 독립변수 x를 어떤 값 a에 극한으로 가까이 보냈을 때(단, x≠a), 함숫값 f(x)가 어떤 값을 갖는지 (혹은 어떤 양상을 보이는지)를 다룹니다.
그렇다면 함수의 극한을 직관적으로는 어떻게 정의하는지 (고등과정에서는 어떻게 정의하는지) 보겠습니다. 또, 극한 기호를 읽는 방법도 함께 보겠습니다.
함수의 극한의 직관적 정의:
함수 f(x)가 x가 a 근처일 때 정의되어있다면(단, x=a일때 반드시 정의되어야 할 필요는 없다) x의 값이 a가 아니면서 a의 값에 한없이 가까운 범위로 제한할 때 f(x)의 값이 일정한 값 L과 한없이 가까워진다면,
라 쓰고,x가 a로 갈 때, 리미트 f(x)는 L이라고 읽으며(the limit of f(x), as x approaches a, equals L), 함수 f(x)는 a에서 L에 수렴(convergent) 한다고 한다. 이 때, L을 함수 f(x)의 x=a에서의 극한값 또는 극한 이라고 한다.
다른 표현으로는
라고 쓰기도 한다.
아래 세 그래프를 보겠습니다.
이 세 그래프에서 x->a로 갈 때, f(x)의 극한값은 모두 L 입니다. 세 그래프 모두 x=a 근처에서 함수가 정의되어있고, x가 a로 한없이 가까워질때 함숫값 역시 L로 가까워지죠. 다만, 그래프(b)는 x=a에서 함수값이 L이 아니고, 그래프 (c)는 x=a 에서 함수가 정의되지 않습니다. 그럼에도 불구하고 모두 x->a 일때 f(x)->L 로, 극한값 L을 갖습니다.
즉, 함수가 x->a 에서 극한값을 갖기위해 반드시 x=a에서 함수가 정의되거나, x=a일 때 함숫값이 극한값과 같을 필요는 없다는 뜻입니다. 함수의 극한값은 x=a '근처' 에서 함수가 어떤 양상을 보이느냐가 중요하지, x=a 그 위치 자체의 형태와는 상관이 없습니다. 함숫값과 극한값은 아예 다른 개념입니다. 함숫값과 극한값이 같은 경우는 따로 '연속(continuous)'이라고 부르고 이는 다른 글에서 추가로 다루겠습니다.
2. 한쪽 극한-우극한과 좌극한 (직관적 정의) (One-Sided Limits:Right Hand Limits and Left Hand Limits)
다음은 우극한과 좌극한입니다. 간단하게 설명하자면 극한은 극한인데, 양쪽으로부터 한없이 x가 어떤 값 a 에 가까워지는 것이 아닌, 한쪽에서만 a로 가까워지는 상황을 그 방향에 따라 각각 좌극한과 우극한이라고 부릅니다.
정의를 보겠습니다.
좌극한의 (직관적) 정의:
x가 a보다 작고 , a에 한없이 가까워질때 f(x)의 값이 L에 가까워지면
라고 쓰고, L을 x=a 에서의 함수f(x)의 좌극한이라고 한다.
다른 표현으로는
라고 쓰기도 한다.
우극한의 (직관적) 정의:
x가 a보다 작고 , a에 한없이 가까워질때 f(x)의 값이 L에 가까워지면
라고 쓰고, L을 x=a 에서의 함수f(x)의 우극한이라고 한다.
다른 표현으로는
라고 쓰기도 한다.
우극한과 좌극한의 정의를 확인하셨나요? 아래 두 그래프를 보겠습니다.
위 그래프를 보면, 그냥 함수의 극한과 우극한, 좌극한이 각각 어떤 차이가 있는지 확인할 수 있습니다. 우극한과 좌극한은 x의 범위가 한쪽으로 제한됩니다. 좌극한은 a의 왼쪽, 즉, 극한값을 구하고자 하는 값보다 x의 크기가 작을 때고, 우극한은 a의 오른쪽, 즉, 극한값을 구하고자 하는 값보다 x의 크기가 클 때의 극한값입니다.
독립변수 x값이 a 에 한없이 가까워 지는 것은 일반적인 함수의 극한과 같지만, a보다 작은 값에서'만 한없이 a에 가까워질 때, a보다 큰 값에서'만' a에 한없이 가까워질 때를 각각 좌극한, 우극한이라고 부르는 것입니다.
우극한과 좌극한, 극한 사이에는 다음과 같은 정리가 성립합니다.
즉, 함수의 극한이 존재하면 함수의 좌극한과 우극한도 같은 값으로 존재하고, 함수의 좌극한과 우극한이 같은 값을 갖는다면 함수의 극한도 그와 같은 값으로 존재한다는 뜻입니다.
하지만 위 명제가 참이므로 다음과 같은 사실도 참임을 알 수 있습니다. 함수의 좌극한과 우극한의 값이 같지 않거나, 둘중 하나만 존재한다면 함수의 극한r값은 존재하지 않는다는 것입니다. 아래 그림을 보면 더욱 확실히 이해할 수 있습니다.
위 그래프 y=g(x) 에서, x=2 일 때 좌극한과 우극한은 각각 3과 2 입니다. 이런 경우는 x=2일 때 극한값이 무엇이라고 정확히 말할 수 있을까요? x가 2보다 큰 경우는 2로 한없이 가까워지지만, 그 반대의 경우는 3으로 한없이 가까워집니다. 이때는 우극한과 좌극한은 존재하지만, 극한값은 존재하지 않는 경우입니다.
x=5에서는 상황이 조금 다릅니다. 우극한과 좌극한이 모두 2로, 함수의 x=5에서의 극한값은 2라고 말할 수 있겠습니다.
그와는 별개로 앞에서도 말씀드렸듯, 함숫값은 x=5 에서 1이지만, 이것은 함수의 극한값에는 영향을 주지 않습니다.
3. x->∞ 혹은 x-> - ∞ 일 때의 극한
이제는 대충 예상하실 수 있을 것 같습니다.
무한대 혹은 무한소로 갈 때의 극한:
함수 f(x) 에서 x의 값이 한없이 커질 때, f(x)의 값이 일정한 값 L에 한없이 가까워지면 함수 f(x)는 L에 수렴한다고 한다.
함수 f(x) 에서 x의 값이 한없이 작아질 때, f(x)의 값이 일정한 값 L에 한없이 가까워지면 함수 f(x)는 L에 수렴한다고 한다.
예시는 바로 다음 무한 극한(infinite limits) 까지 다룬 뒤 보여드리겠습니다.
4. 무한 극한 (infinite limits)
무한극한을 다루기 전 한가지 주의하셔야 할 점이 있습니다. 무한극한은 극한이라 부르기는 하나, 함수가 수렴하는 경우는 아니라는 것입니다.
무한 극한의 정의:
함수 f(x)가 x가 a 근처일 때 정의되어있다면(단, x=a일때 반드시 정의되어야 할 필요는 없다) x의 값이 a가 아니면서 a의 값에 한없이 가까운 범위로 제한할 때 f(x)의 값이 무한히 커진다면,
라 쓰고,x가 a로 갈 때, 리미트 f(x)는 무한대 라고 읽으며(the limit of f(x), as x approaches a, is infinity ), 함수 f(x)는 a에서 무한대로 발산(divergent) 한다고 한다.
f(x)의 값이 무한히 작아진다면 다음과 같이 쓴다.
아래 그래프의 예시를 보겠습니다.
간단한 무리함수 y=1/x^2의 그래프입니다. 이 경우 x가 0으로 갈 때, 무한대로 발산하고 있으며, x가 무한대 혹은 무한소로 갈 때 0으로 수렴하고 있습니다.
위 그래프에서 볼 수 있듯, x가 0으로 갈 때, x의 범위를 점점 더 0과 가까운 범위로 제한하게 되면 f(x)의 값은 끝없이 커질 수 있습니다. 따라서 우리는 무한대를 '수'라고 간주하지 않고, 함수가 수렴한다고도 하지 않는 것입니다.
여기서 확인해야 할 주의할점은 극한값이 무한대 혹은 무한소로 갈 때는 수렴한다고 하지 않는다는 것입니다. 수렴하지 않는 모든 극한은 발산이므로 x=0에서 이 함수 역시 발산하고 있습니다.
이렇게 함수의 극한이 x=a 에서 무한대 혹은 무한소로 발산할 때, 수직선 x=a 를 수직 점근선 이라고 부릅니다.
오늘도 제 글을 읽어주셔서 감사합니다. 다음에는 함수의 극한의 성질과 극한값의 계산 방법, 함수의 극한의 엄밀한 정의 등을 다뤄 보도록 하겠습니다.
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