복습 도구로 블로그를 쓰는 건 조금 바보같다는 생각을 했습니다. 글 하나 쓰는데 시간이 너무 오래 걸리더군요. 그래도 제가 공부한 것들을 어딘가에다 검색 가능한 텍스트로 저장을 해 놓는게 좋을 것 같다는 생각에 시작한 일이니, 끝을 봐야겠죠.
오늘은 함수의 그래프의 정의와 수직선 테스트에 대해 글을 써보려 합니다. 두가지 주제만 다루면 되니 그래도 오늘은 금방 끝날 것 같네요.
! 자료구조에서 다루는 그래프의 정의와는 다른 그래프의 정의입니다 (아마도...?) !
1.함수의 그래프
Stewart Calculus에 나와있는 함수의 그래프의 정의는 다음과 같습니다.
함수 f가 정의역 D에서 정의되어 있다면, 함수 f의 그래프는 다음과 같은 순서쌍의 집합이다.
즉, y=f(x)를 만족하는 모든 점 (x,y)의 집합이 바로 함수의 그래프라는 것입니다. 당연히 x는 정의역 안의 변수여야겠죠.
<함수의 그래프>
Stewart Calculus에 함수의 그래프의 예시로 나와있는 그림들입니다. 굳이 안가져와도 되는 이 그림을 가져온 이유는, 뜬금없긴 하지만, range 라는 용어에 대해 정리하고 싶었기 때문입니다. range라는 용어는 수학에서 참 다양한 부분에 사용됩니다. 그러나 range라는 용어가 정확히 한국어로 무엇으로 대응되는가? 라고 물어보면 제대로 답하기 어렵습니다. 그래서 저는 함수에 대해 서술할 때, range가 어떻게 사용되는지 알려드리려 합니다.
오른쪽 그림(Figrue 5)에서 range라는 단어가 나타내는 것은 명확합니다. 함수의 치역이죠. 그런데 함수의 정의를 설명하는 부분에는 다음과 같은 문구가 있습니다.
The 'range' of f is the set of all possible values of f(x) as x varies throughout the domain.
<James Stewart Calculus,metric edition,8th edtion>
수학에서 함수에 대해 다룰 때 range라는 용어는 공역 혹은 치역 모두를 나타내는 단어로 사용됩니다.
1.공역=Codomain
2. 치역=Image
3. 범위-때때로 공역 혹은 치역=range
본론으로 돌아와서, 함수의 그래프의 정의는 위와 같습니다.
2. 수직선 판정법(테스트)-The Vertical Line Test
수직선 판정법은 아래와 같습니다.
xy 평면 위에 놓은 곡선은 어떠한 수직선도 곡선을 두번 이상 지나지 않을 때만 함수의 그래프이다.
A curve in the xy-plane is the graph of a function of x if and only if no vertical line intersects the curve more than once
<James Stewart Calculus,metric edition,8th edtion>
제 번역능력 이슈로 인해 수직선 판정법을 한국어로 쓰는데 빠진 내용이 있습니다. 바로 첫번째 명제
-xy 평면 위에 놓은 곡선은 어떠한 수직선도 곡선을 두번 이상 지나지 않는다
와, 두번째 명제
-이 곡선은 함수의 그래프이다.
는 필요충분 조건이라는 것입니다.(if and only if 라는 문구는 앞뒤 명제가 서로 필요충분 조건이라는 것을 나타낼 때 쓰이는 말입니다.)
아래 그림을 보면 단번에 왜 수직선 테스트가 맞는지 알 수 있습니다.
<The Vertical Line Test-a function>
<The Vertical Line Test-not a function>
왼쪽 그림은 함수에 수직선 정의를 적용했을 때의 그림입니다. 수직선이 곡선을 한번만 지나는 것을 볼 수 있습니다. 그러나 오른쪽그림은 어떤가요? 수직선이 곡선을 두번 지나고 있습니다. 그림에서 확인 할 수 있듯이 x=a 일때, 이 곡선에는 (a,b) (a,c) 두 점 모두가 존재합니다.
!!이 말은!! 정의역의 원소 a에 대응하는 값이 두개라는 뜻!!-->즉 함수의 정의에 어긋납니다. 함수의 정의는 아래 글을 참고해 주세요.
